%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.4. French}
Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation discrète d'égale caractéristique $0$, d'idéal maximal $\mathfrak{m}$, de corps résiduel $k = \mathcal{O}/\mathfrak{m}$ et de corps des fractions $K$. 

On suppose $\mathcal{O}$ muni d'un $\mathcal{O}$-module libre de rang un $\Omega$ et d'une dérivation $d : \mathcal{O} \to \Omega$ qui vérifie

(1.4.1.) 
Il existe une uniformisante $t$ telle que $dt$ engendre $\Omega$.

(Pour moins d'hypergénéralité, voir 1.7).

Si $t_1$ est une autre uniformisante, on a $t_1 = at$ avec $a \in \mathcal{O}^*$, et par hypothèse $da$ est multiple de $dt$: $da = \lambda\, dt$. 

On a donc
\[
dt_1 = a\cdot dt + da\cdot t = (a + \lambda t)\cdot dt.
\]
%et

(1.4.2.) 
Pour toute uniformisante $t$, $dt$ engendre $\Omega$.

On désignera par
\[
v : K^* \longrightarrow \mathbb{Z}
\]
la valuation de $K$ définie par $\mathcal{O}$; on désignera encore par $v$ la valuation de $\Omega \otimes K$ définie par le réseau $\Omega$. 

Pour $t$ une uniformisante,
\[
v(\omega) = v(\omega/dt).
\]

Si $f \in K^*$, $f = at^n$ ($a \in \mathcal{O}$), on a
\[
df = da\cdot t^n + na\cdot t^{n-1} dt
\]
et donc
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(1.4.3.) $ v(df) \leq v(f) - 1. $ 

(1.4.4.) $ v(f) \neq 0 \implies v(df) = v(f) - 1. $

En particulier, $d$ est continu, s'étend en $d : \widehat{\mathcal{O}} \longrightarrow \widehat{\Omega}$, et le triple $(\widehat{\mathcal{O}}, d, \widehat{\Omega})$ vérifie encore (1.4.1).

%----------------- TRANSLATION -----------------
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\subsection*{1.4. English}

Let $\mathcal{O}$ be a discrete valuation ring of equal characteristic $0$, with maximal ideal $\mathfrak{m}$, residue field $k = \mathcal{O}/\mathfrak{m}$, and field of fractions $K$.

Assume that $\mathcal{O}$ is equipped with a free $\mathcal{O}$-module $\Omega$ of rank one and a derivation $d : \mathcal{O} \to \Omega$ satisfying

(1.4.1.)
There exists a uniformizer $t$ such that $dt$ generates $\Omega$.

(For less hypergenerality, see 1.7.)

If $t_1$ is another uniformizer, then $t_1 = a t$ with $a \in \mathcal{O}^*$, and by assumption $da$ is a multiple of $dt$: $da = \lambda\, dt$.

Hence we have
\[
dt_1 = a\cdot dt + da\cdot t = (a + \lambda t)\cdot dt.
\]

(1.4.2.)
For every uniformizer $t$, $dt$ generates $\Omega$.

We denote by
\[
v : K^* \longrightarrow \mathbb{Z}
\]
the valuation on $K$ defined by $\mathcal{O}$; we also denote by $v$ the valuation on $\Omega \otimes K$ defined by the lattice $\Omega$.

For a uniformizer $t$,
\[
v(\omega) = v(\omega/dt).
\]

If $f \in K^*$, write $f = a t^n$ with $a \in \mathcal{O}^*$; then
\[
df = da\cdot t^n + n a\cdot t^{n-1} dt,
\]
and therefore

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(1.4.3.) $ v(df) \leq v(f) - 1. $

(1.4.4.) $ v(f) \neq 0 \implies v(df) = v(f) - 1. $

In particular, $d$ is continuous, extends to a map $d : \widehat{\mathcal{O}} \longrightarrow \widehat{\Omega}$, and the triple $(\widehat{\mathcal{O}}, d, \widehat{\Omega})$ still satisfies (1.4.1).
